Статистические методы анализа радиоканалов. Оптимизация линейных блоков канала

Содержание

Каналы Радиосистем

1. Классификация радиоканалов. Диапазоны частот

3. Дальность действия радиосистем в идеальных каналах

4. Статистические методы анализа радиоканалов. Оптимизация линейных блоков канала

Статистические методы анализа радиоканалов. Оптимизация линейных блоков канала

В общем случае радиоканалы, в частности радиолинии, могут иметь произвольное число входов и выходов. Решая задачу определения свойств и характеристик канала применительно к конкретной системе, имеющей на входе один источник сообщений и один адресат на выходе, целесообразно ограничиться рассмотрением каналов с одним входом и одним выходом, представляя их в виде четырехполюсников. С точки зрения возможностей теоретического анализа радиоканалов весьма существенным является деление каналов на линейные и нелинейные. Как обычно, к линейным системам применим принцип суперпозиции. Нелинейные каналы этим свойством не обладают. В общем случае радиоканал можно представить в виде последовательно соединенных четырехполюсников, значительная часть которых представляет собой линейные инерционные системы.

Наиболее общий метод анализа линейных систем связан с возможностью их описания с помощью линейных дифференциальных уравнений. В теории цепей широкое применение находит метод анализа линейных систем с использованием временных характеристик: импульсной переходной либо передаточной функций. Под импульсной переходной (весовой) функцией $h(t,\tau )$ понимают отклик системы в момент времени $t$ на воздействие дельта-импульса Дирака в момент $\tau$ . Если на вход линейной системы подается воздействие произвольной формы $x(t)$ (в частности, это может быть одна из возможных реализаций случайного процесса), то отклик системы определяется выражением $y(t)=\int_{-\infty }^{\infty }{h(t,\tau )x(\tau )d\tau }$ . Если параметры линейной системы во времени неизменны, импульсная переходная функция зависит только от разности временных отсчетов, $h(t,\tau )=h(t-\tau )$ , в этом случае отклик системы на воздействие $x(t)$ определяется сверткой: $y(t)=\int_{-\infty }^{\infty }{h(t-\tau )x(\tau )d\tau }$ . Линейная система называется физически реализуемой, если $h(t-\tau )=0$ при $t<\tau$ . При этом $y(t)=\int_{0}^{t}{h(t-\tau )x(\tau )d\tau }$ .

Линейная система с постоянными параметрами называется устойчивой, если всякое воздействие на систему, являющееся ограниченной функцией времени, вызывает отклик, также являющийся ограниченной функцией времени. Широко используемым методом анализа стационарного состояния устойчивой линейной системы с постоянными во времени параметрами является метод анализа, связанный с использованием коэффициента передачи системы $A(j\omega )$ , под которым понимается отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде синусоидального воздействия, и который является преобразованием Фурье импульсной переходной функции $A(j\omega )=F\left[ h(t) \right](h(t)={{F}^{-1}}\left[ A(j\omega ) \right]$ .

Все представленные здесь сведения могут служить достаточной основой для определения моментных функций первых двух порядков (функций авто и взаимной корреляции и спектральных плотностей мощности) стационарных и стационарно связанных случайных сигналов в радиоканалах. Так, корреляционная функция стационарного отклика $\zeta (t)$ канала с фиксированными параметрами при подаче на его вход в отдаленном прошлом стационарного воздействия $\xi (t)$ определяется выражением

${{R}_{\zeta }}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }{\int_{-\infty }^{\infty }{h(u)h(\upsilon ){{R}_{\zeta }}(u-\upsilon +\tau )dud\upsilon }}$

Соответственно, спектральная плотность мощности отклика ${{G}_{\zeta }}(\omega )$ , исходя из преобразования Фурье, определяется через спектральную плотность мощности воздействия ${{G}_{\xi }}(\omega )$ и коэффициент передачи системы известным образом: ${{G}_{\zeta }}(\omega )={{G}_{\xi }}(\omega ){{\left| A(j\omega ) \right|}^{2}}$ .

Одной из важных задач статистического анализа каналов является задача поиска оптимальных устройств, т. е. систем, обеспечивающих наилучшее в определенном смысле качество выходного эффекта.

Основными исходными предпосылками для решения таких задач являются: назначение системы, класс рассматриваемых устройств, характеристики входного сигнала, предлагаемые критерии качества. Ограничиваясь здесь задачами оптимизации линейных каналов, напомним результаты решения для двух классов систем: максимизация отношения сигнал/шум на выходе канала и оптимальное сглаживание стационарных воздействий.

В первом случае решается задача фильтрации полезных сигналов дискретных сообщений от шума — задача обнаружения или распознавания сигналов $s={{s}_{in}}(t)$ , форма которых на определенном временном интервале $T$ предполагается известной, на фоне стационарного шумового воздействия $n={{n}_{in}}(t)$ , обладающего заданными корреляционными свойствами; при этом используется критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе системы в виде выражения $d_{0}^{2}=s_{out}^{2}(T)/M\left[ n_{out}^{2}(t) \right]$ , в которое входят значения откликов системы с конечной памятью $T$ на полезный сигнал и шум ( $M$ — символ математического ожидания). Здесь решение задачи определения импульсной переходной функции оптимальной системы получается в результате решения интегрального уравнения вида

$\int_{0}^{T}{{{h}_{0}}(t){{R}_{n}}(t-z)dt-cs(T-z),c=\text{const}}$ (2.8)

При этом величина максимального отношения сигнал/шум $d_{0}^{2}$ оказывается равной $d_{0}^{2}=s_{out}^{{}}(T)$ .

Упрощенное решение этого уравнения существует для случая физически нереализуемых фильтров, когда пределы интегрирования в (2.8) могут быть заменены на неопределенные значения. При этом, умножая обе части уравнения на множитель ${{e}^{-j\omega z}}$ и интегрируя по переменной z в бесконечных пределах, в результате получим решение для коэффициента передачи оптимального фильтра в виде

${{A}_{0}}(j\omega )=\frac{{{S}_{s}}(j\omega )}{{{G}_{n}}(\omega )}{{e}^{-j\omega z}}$ , или $\left| {{A}_{0}}(j\omega ) \right|=\frac{\left| {{S}_{s}}(j\omega ) \right|}{{{G}_{n}}(\omega )}$ (2.9)

где $\left| {{S}_{s}}(j\omega ) \right|$ — модуль спектральной плотности входного сигнала ${{s}_{in}}$ . Из (2.9) следует, что коэффициент передача фильтра, максимизирующего сигнал/шум, по модулю обратно пропорционален спектральной плотности мощности шума.

Частным случаем линейных фильтров, максимизирующих отношение сигнал/шум, являются согласованные фильтры, оптимальные в условиях обнаружения или различения сигналов на фоне белого шума, когда импульсная переходная функция канала определяется выражением

${{h}_{i}}(t)=(2/{{N}_{0}}){{s}_{i}}(T-t)$ (2.10)

вытекающим из уравнения (2.8) на основании фильтрующего свойства дельта-функции, и когда значение отношения сигнал/шум $d_{0}^{2}=2E/{{N}_{0}}$ оказывается равным отношению энергии сигнала $E=\int_{0}^{T}{s_{in}^{2}(t)dt}$ к спектральной плотности мощности шума.

Во втором случае подаваемое на вход линейной системы колебание представляет собой сумму двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов с известными корреляционными характеристиками, один из которых является ожидаемым сигналом, а другой — шумовым воздействием. При этом используется критерий минимального среднеквадратичного отклонения отклика линейной системы на входное воздействие $\xi (t)$ от полезного сигнала s(t), при котором минимизируется величина средней ошибки $\Delta$ , равная $\Delta =M\left\{ {{\left[ \zeta (t)-s(t) \right]}^{2}} \right\}$ , где $\zeta (t)$ — выходной эффект системы. Результатом решения этой задачи является уравнение, определяющее импульсную переходную функцию оптимального фильтра ${{h}_{0}}(t)$ (уравнение Винера), имеющего вид

$\int_{-\infty }^{\infty }{{{h}_{0}}(t){{R}_{\xi }}(t-z)dt}={{R}_{s\xi }}(z)$ (2.11)

где ${{R}_{\xi }}$ — функция автокорреляции входного воздействия; ${{R}_{s\xi }}$ —функция взаимной корреляции между полезным сигналом и входным воздействием. Простое решение этого уравнения также имеется для случая физически нереализуемой системы, для которого можно получить выражение коэффициента передачи оптимальной системы в виде ${{A}_{0}}(j\omega )={{G}_{s\xi }}(\omega )/{{G}_{\xi }}(\omega )$ , где ${{G}_{\xi }}(\omega )$ — спектральная плотность мощности. Величина минимальной среднеквадратичной ошибки в предположении отсутствия корреляционных связей сигнала и шума в этом случае определяется выражением

${{\Delta }_{0}}=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{{{G}_{s}}(\omega ){{G}_{n}}(\omega )}{{{G}_{s}}(\omega )+{{G}_{n}}(\omega )}}d\omega$ (2.12)

из которого следует, что ошибка может быть нулевой только в случае, когда спектры сигнала и шума не пересекаются. В частном случае фильтрации сигналов на фоне белого шума ошибка определяется величиной

${{\Delta }_{0}}=\frac{{{N}_{0}}}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{{{G}_{s}}(\omega )}{{{G}_{s}}(\omega )+{{N}_{0}}}}d\omega$ .

Для физически реализуемого сглаживающего фильтра уравнение оптимальной фильтрации принимает вид

оно носит название уравнения Винера-Хопфа.

$\int_{0}^{\infty }{{{h}_{0}}(t){{R}_{\xi }}(t-z)dt}={{R}_{s\xi }}(z)$

Полная статистическая характеристика отклика канала определяется, как известно, многомерной функцией плотности распределения вероятностей (ф.п.р.в.). Строгое аналитическое решение этой задачи при известной ф.п.р.в. воздействия для линейного канала имеется лишь в случае гауссовского входного сигнала.

Значительная часть блоков радиоканала являются нелинейными устройствами, аппроксимируемыми, как правило, безынерцонными системами. Для безынерционных устройств, в том числе и нелинейных, имеется строгое решение задачи определения n-мерной ф.п.р.в. на выходе ${{\omega }_{\zeta }}(y)$ при известной n-мерной ф.п.р.в. ${{\omega }_{\zeta }}(x)$ на входе. Выражая прямую и обратную функциональную зависимость сигнальных компонент (отсчетных значений случайных процессов) на входе и выходе канала в виде

$\begin{align} & {{\zeta }_{1}}={{f}_{1}}({{\xi }_{1}},...,{{\xi }_{n}});\,{{\xi }_{1}}={{\varphi }_{1}}({{\zeta }_{1}},...,{{\zeta }_{n}}); \\ & ...... \\ & {{\zeta }_{n}}={{f}_{n}}({{\xi }_{1}},...,{{\xi }_{n}});\,{{\xi }_{n}}={{\varphi }_{n}}({{\zeta }_{1}},...,{{\zeta }_{n}}), \\ \end{align}$

в предположении взаимной однозначности функциональных преобразований f и Ф можно представить известную зависимость

${{\omega }_{\zeta }}({{y}_{1}},...,{{y}_{n}})={{\omega }_{\xi }}\left[ {{\varphi }_{1}}({{y}_{1}},...,{{y}_{n}}),...,{{\varphi }_{n}}({{y}_{1}},...,{{y}_{n}}) \right]\left| D \right|$

где D — якобиан преобразования координат, представляемый определителем матрицы из частных производных:

$D=\left| \begin{matrix} \partial {{x}_{1}}/\partial {{y}_{1}} & ... & \partial {{x}_{1}}/\partial {{y}_{n}} \\ ... & ... & ... \\ \partial {{x}_{n}}/\partial {{y}_{1}} & ... & \partial {{x}_{n}}/\partial {{y}_{n}} \\ \end{matrix} \right|$

Представленная формула используется для решения целого ряда задач по определению многомерных ф.п.р.в. на выходе радиоканалов, включая ф.п.р.в. огибающих и фаз узкополосных высокочастотных колебаний, распределение случайной частоты, квадрата огибающей, косинуса фазы и др.